Ile znasz cyfr po przecinku w liczbie Pi? Nie musisz wszystkich

Gdy w szkole w równaniach matematycznych pojawia się liczba Pi (zapisywana także grecką literą π) to znak, że wchodzimy na wyższy poziom wiedzy, w świat rzeczy abstrakcyjnych. W większości przypadków nasza przygoda z liczbą Pi kończy się na znajomości jej wartości do dwóch liczb po przecinku, czyli 3,14. Czasem poznajemy trochę więcej liczb tego dziesiętnego rozwinięcia, na przykład dziesięć i wtedy możemy pochwalić się wiedzą, że Pi to 3,1415926535. 

Często stosowane jest przybliczenie liczby Pi jako ułamka 22/7. Jednak wynik dzielenia zgodny jest z wartością Pi tylko dla dwóch cyfr po przecinku, a tyle to zna każdy. To zbyt słabe przybliżenie, by używać go nawet w dość prostych obliczeniach.

Ja zwykle ograniczam się do pięciu cyfr, gdy przyjdzie mi coś policzyć i to wystarczy, by z powodu moich obliczeń nie wydarzył się żaden domowy kataklizm. Jednak warto zastanowić się, jak wiele cyfr w rozwinięciu dziesiętnym trzeba faktycznie znać, by obliczenia dało się uznać za wysoce precyzyjne. A wy ile znacie i stosujecie w obliczeniach. Najlepsi zapamiętywacze podobno są ułożyć w swoich głowach po kolei, aż kilkadziesiąt tysięcy cyfr dziesiętnego rozwiniecia Pi. To mizerny ułamek liczby cyfr w zapisie Pi jakie znane sa matematyce, ale też znacznie więcej niż trzeba znać, by dość dokładnie opisać - cały Wszechświat.

Pi jako liczbę niewymierną nie da się zapisać stosując skończoną liczbę cyfr jej dziesiętnego rozwiniecia. Na dodatek Pi jest liczbą przestępną, czyli nie istnieje wielomian, którego rozwiązaniem byłaby liczba Pi. Słyszeliście pewnie także o problemie kwadratury koła, który mówi, że nie da się w skończonej liczbie kroków wyłącznie z pomocą cyrkla i linijki skonstruować kwadratu o tej samej powierzchni co koło. Ta nieskończoność zapisu liczby Pi ma właśnie z tym związek.

Liczbę Pi można policzyć samodzielnie, ograniczając się do dokładności prostych narzędzi - linijki i cyrkla. Powtarzając pomiary dla różnych okręgów uzyskamy przybliżoną wartość Pi, choć niekoniecznie zgodną z poprawnymi wyliczeniami.

Matematycy obliczają Pi stosując specjalne formuły, w których udowodniono, że prowadzą one do wyliczenia Pi. Stosuje się matematyczne szeregi, funkcje, których zapis jest rozwijany i przeliczany przez komputery, co pozwala określić wartość liczby Pi. Jednak im dalszą cyfrę po przecinku w liczbie Pi chcemy poznać, tym trudniej ją wyliczyć. Stopień skomplikowania obliczeń znacząco wzrasta, dlatego nawet najpotężniejsze superkomputery są zdolne obliczyć obecnie maksymalnie około 100 bilionów cyfr. W 2021 roku po ponad 100 dniach pracy szwajcarski superkomputer wyliczył 62,8 biliona cyfr rozwinięcia dziesiętnego Pi. W 2023 roku z pomocą chmury Google wyliczono 100 bilionów cyfr po przecinku. I ten rekord został pobity. Od marca 2024 wynosi 105 bilionów cyfr - wyliczonych przez amerykańską firmę Solidigm w ciągu 75 dni.

Wyliczanie liczby Pi to bardzo obciążające komponenty komputera działanie, gdyż nie można tu stosować żadnych przybliżeń. Wynik musi być jak najbardziej dokładny. Dlatego algorytmy obliczające Pi bywają stosowane przez podkręcających komputery do wyciskania ostatnich potów ze swoich maszyn. 

Na szczęście tak duża dokładność nie jest konieczna, byśmy mogli funkcjonować w obecnej cyfrowej rzeczywistości, w której liczba Pi pojawia się nader często, a nie można jej wprowadzić jako symbolu, a raczej konkretną wartość. Dokładność z jaka Pi warto znać okazuje sie zaskakująco niewielka, zważywszy na przytoczone powyżej wyniki poszukiwania jej najdokładniejszej wartości.

Gdyby NASA musiała stosować jak najdokładniejszy zapis liczby Pi, to do dziś nie oderwalibyśmy się od Ziemi, nie polecielibyśmy w kosmos, nie wysłali sond ku najdalszym zakątkom Układu Słonecznego. Tak wymagająca obliczeniowo jest to liczba w pełnym znanym dziś rozwinięciu.

Na szczęście okazuje się, że do obliczeń związanych z ruchem ciał niebieskich i sond kosmicznych wystarczy znajomość tylko 16 cyfr - trójki na początku i 15 cyfr rozwinięcia dziesiętnego. To liczba cyfr, którą da się zapamiętać bez większych problemów. Jeden numer telefoniczny to co najmniej dziwięć cyfr. A znamy ich zazwyczaj kilka (resztę powierzając pamięci telefonu).

π = 3,141592653589793 - to najdokładniejszy zapis liczby Pi, który stosują w swoich obliczeniach pracownicy NASA. W większości formuł nie jest potrzebna nawet i taka precyzja.

Ten najdokładniejszy z 15 cyframi po przecinku zapis liczby Pi wymagany jest jedynie przy działaniach związanych z nawigacją międzyplanetarną. W artykule opublikowanym na stronie JPL NASA, szef sekcji związanej z misjami kosmicznymi - Marc Rayman, uzasadnia, dlaczego nie ma sensu stosować lepszego przybliżenia. Wartośc Pi równego 3,141592653589793 pozwala:

• obliczyć odległość do sond Voyager z dokładnością większą niż rozmiar palca ludzkiej dłoni,
• nawigować w okolicy Ziemi z dokładnością kilkadziesiąt tysięcy razy większą niż rozmiar ludzkiego włosa.

Marc Rayman stawia nas na koniec przed innym problemem. Obliczeniami, w których należy uwzględnić rozmiar Wszechświata. Jak precyzyjnie trzeba znać liczbę Pi, by ten rozmiar dało się obliczyć z dokładnością równą rozmiarowi pojedynczego atomu wodoru? Okazuje się, że jest wystarczy jedynie 37 cyfr po przecinku. A przecież i tak ogrom kosmosu jest dla nas wciąż zagadką, więc po co mielibyśmy obliczać tak dokładnie jego rozmiar.

Naukowcy podkreślają, że dzisiejsze problemy nie wymagają znajomości Pi dokładniej niż wartość, którą stosuje NASA. Może i tak jest i nigdy dokładna znajomośc Pi nie będzie potrzebna. Ale pewnym być nie można, bo Pi wciąż zaskakuje ludzi nauki. Od czasów Archimedesa, którego uznajemy jako pierwszego uczonego świadomego, że określenie wartości Pi nie jest proste i starającego się tę wartośc wyliczyć. Liczba Pi była znana jednakże już wcześniej, choć jedynie jako stała stosowana w formuła matematycznych. Starożytni babilończycy zadowalali się wartością π = 3, co dziś wywołałoby oburzenie nawet u laika. Wtedy jednak nie znano jej jako liczby Pi. Tę nazwę wprowadził William Jones dopiero na początku XVIII wieku.

Dziś jest to najbardziej znana ludziom liczba, choć nie chodzi o jej dokładną wartość, a nazwę litery. Warto jednak, by krzewić wiedze o niesamowitych własnościach liczby Pi i tym w jak wielu dziedzinach życia znajduje ona zastosowanie. Dlatego też przyjęło się traktować 14 marca jako dzień tej liczby. W zapisie odwróconym, ta data to 3.14.

Źródło: NASA JPL, inf. własna, fot. wejsciowe: NASA/JPL